Question

正项数列的前n项和为，且。
（Ⅰ）证明数列为等差数列并求其通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析，；（Ⅱ）详见解析．

试题分析：（Ⅰ）证明数列为等差数列并求其通项公式，由已知，这是由求，可根据来求，因此当时，，解得，当时，，整理得，从而得数列是首项为１，公差为２的等差数列，可写出数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前n项和为，证明：，首先求出的通项公式，，分母是等差数列连续两项积，符合利用拆项相消法求和，即，这样求得和，利用数列的单调性，可证结论．
试题解析：（Ⅰ）由得：当时，，得，
当时，，
整理得，又为正项数列，
故，（），因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
。（6分）
（Ⅱ），
∴，
∵，∴，（8分）
，
∴数列是一个递增数列     ∴，
综上所述，。（12分）