Question

已知数列，满足，，
（1）已知，求数列所满足的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：（1）这属于数列的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由已知可得，从而当时有结论
，很幸运，此式左边正好是，则此我们得到了数列的相邻两项的差，那么为了求，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有，对要另外求得；（2）有了第（1）小题，那么求就方便多了，因为，这里不再累赘不；（3）在（2）基础上有，我们只有求出才能求出，这里可利用等差数列的性质，其通项公式为的一次函数（当然也可用等差数列的定义）求出，从而得到，那么和的求法大家应该知道是乘公比错位相减法，借助已知极限可求出极限.
试题解析：(1)，
．
当时，有．
又，，
．
数列的递推公式是.
于是，有．
∴.
（说明：这里也可利用，依据递推，得
）
由（1）得，
又，可求得．
当时，，符合公式．
数列的通项公式．
(3)由(2)知，，．又是等差数列，
因此，当且仅当是关于的一次函数或常值函数，即()．
于是，，

，
．
所以，．