Question

设数列{a_n} 的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．

Answer 1

（1），，；（2）详见解析；（3）详见解析．

试题分析：（1）由，，成等差数列可得一等式：.为了求出，，，需再列两个方程．在题设中，令，，便又得两个方程，这样解方程组即可．
（2）要证为等比数列，需证是一个常数．为此，需找到与.题设中是这样一个关系式，显然应消去只留，这就要用.
将中的换成得，两式相减得：，所以．注意这里的大于等于2，所以还需要考虑的情况.
（3）涉及数列的和的不等式的证明，一般有以下两种方法，一是先求和后放缩，二是先放缩后求和.
在本题中，应首先求出通项公式.由（2）可得．对这样一个数列显然不可能先求和，那么就先放缩.因为，所以，然后采用迭乘或迭代的方法，便可得，右边是一个等比数列，便可以求和了.
试题解析：（1）因为，，成等差数列，所以……………………①
当时，，………………………………………………………②
当时，，………………………………………………③
所以联立①②③解得，，，．
（2）由，得，
两式相减得，所以．
因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列．
（3）由（2）得，，即．因为，
所以，
所以当n≥2时，，，，…….，，两边同时相乘得：.
所以．