Question

13．若椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，当FB⊥AB时，其离心率为$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 根据题意，由AB⊥BF可得$\frac{AO}{OB}=\frac{OB}{OF}$，易得b²=ac，化简可得即c²-a²=ac，可以变形为e²-e=1，结合e＞1解可得答案．

解答 解：在Rt△ABF中，由AB⊥BF可得$\frac{AO}{OB}=\frac{OB}{OF}$，
则b²=ac，
即c²-a²=ac，
可得e²-e=1，
又由e＞1，
则e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
故选

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，解题的关键是根据直角三角形的性质得到$\frac{AO}{OB}=\frac{OB}{OF}$，进而得到b²=ac．