Question

4．下列命题中所有正确的序号是④⑤．
①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$；
②存在区间（a，b），使y=cosx为减函数而sinx＜0；
③y=tanx在定义域内为增函数；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）有最大值2，且是偶函数；
⑤若函数f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-3）=5，则f（π+3）=-3．

Answer 1

分析 求出$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，sinx+cosx的范围，可判断①；根据导数符号与原函数单调性的关系，可判断②；根据正切函数的单调性，可判断③；分析函数的最值和奇偶性，可判断④；根据函数的奇偶和周期性，可判断⑤

解答 解：$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$∈（1，$\sqrt{2}$]，
故①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$，错误；
②y=cosx，则y′=-sinx，若存在区间（a，b），使y=cosx为减函数，则sinx≥0恒成立，错误；
③y=tanx在定义域内图象不连续，不为增函数；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=cos²x+cosx在cosx=1时有最大值2，且是偶函数，正确；
⑤若函数f（x）=asin2x+btanx+1，则f（-x）+f（x）=2，若f（-3）=5，则f（π+3）=f（3）=-3，正确．
故答案为：④⑤

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．