Question

15．如图所示，△ABD和△CBD是全等的等边三角形，且边长为2，AC=$\sqrt{6}$，F、G分别为AD、BC的中点．
（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（2）求直线FG与平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出AE⊥平面CBD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．    
（2）分别以E为原点，EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出求直线FG与平面ADC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取BD的中点E，连接AE，CE，
∵△ABD和△CBD是全等的等边三角形，且边长为2，
∴AE=CE=$\sqrt{3}$，
∵AC=$\sqrt{6}$，∴AE⊥CE，
∵AE⊥BD，CE∩BD=E，
∴AE⊥平面CBD，
∵AE?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD；
（2）解：以E为原点，EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立坐标系，
则A（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，0，0），F（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{FG}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设平面ADC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{FG}$＞=$\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+1}•\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{5}$，
∴直线FG与平面ADC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线FG与平面ADC所成角的正弦值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．