Question

已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).

（1）若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间。

Answer 1

解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)

∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋

（1）由已知函数f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝

（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞))      

①当a＝0时，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减             

②当a＜0时，由f ' (x)＝＝0的x₁＝(舍去)，x₂＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2

∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减        

综上：当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增