Question

11．各项均为正数的数列{a_n}满足a_n²=4S_n-2a_n-1（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过n=1，n=2求解数列的a₁，a₂的值．
（2）利用数列的递推关系式，通过a_n=S_n-S_n-1，化简推出数列是等差数列，然后求解即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁²=4S₁-2a₁-1，
即（a₁-1）²=0，解得a₁=1．
当n=2时，a₂²=4S₂-2a₂-1=4a₁+2a₂-1=3+2a₂，
解得a₂=3或a₂=-1（舍去）．
（2）a_n²═4S_n-2a_n-1，①
a_n+1²=4S_n+1-2a_n+1-1．②
②-①得：a_n+1²-a_n²=4a_n+1-2a_n+1+2a_n=2（a_n+1+a_n），
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n）．
∵数列{a_n}各项均为正数，
∴a_n+1+a_n＞0，a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力．