Question

2．某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：

组号	第一组	第二组	第二组	第四组
分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	6	4	22	20
频率	0.06	0.04	0.22	0.20
组号	第五组	第六组	第七组	第八组
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	18	a	10	5
频率	b	0.15	0.10	0.05

（1）若频数的总和为c，试求a，b，c的值；
（2）为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，令第七组被抽中的学生数为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）估计该校本次考试的数学平均分．

Answer 1

分析 （1）由频率=$\frac{频数}{样本容量}$，能求出a，b，c的值．
（2）第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为$\frac{1}{5}$．从第七组中抽取的样本数为$\frac{1}{5}$×10=2．从而随机变量ξ的可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和E（ξ）．
（3）根据频率分布表能估计该校本次考试的数学平均分．

解答 （本题满分12分）
解：（1）因为频率和为1，所以b=0.18，
又因为频率=$\frac{频数}{样本容量}$，所以c=100，a=15．…（4分）
（2）第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，则每个学生被抽中的概率均为$\frac{1}{5}$．
所以从第七组中抽取的样本数为$\frac{1}{5}$×10=2．
所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{0}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

所以E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．…..（10分）
（3）根据频率分布表估计该校本次考试的数学平均分为：
75×0.06+85×0.04+95×0.22+105×0.2+115×0.18+125×0.15+135×0.1+145×0.05=110．…（12分）

点评 本题考查考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．