Question

7．已知sin$α=\frac{2}{3}$，α$∈（\frac{π}{2}，π）$，求cos（$\frac{π}{3}+α$），cos（$\frac{π}{3}-α$）

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$ 的值，再利用两角和差的余弦公式求得cos（$\frac{π}{3}+α$）、cos（$\frac{π}{3}-α$）的值．

解答 解：∵sin$α=\frac{2}{3}$，α$∈（\frac{π}{2}，π）$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{3}+α$）=cosαcos$\frac{π}{3}$-sinαsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{6}$，
cos（$\frac{π}{3}-α$）=cosαcos$\frac{π}{3}$+sinαsin$\frac{π}{3}$=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式，属于基础题．