Question

2．已知函数f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2）的最小值为g（a）．
（1）求g（2）的值；
（2）求g（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由a=2，求得f（t）=（t-2）²-4，即可得到最小值g（2）；
（2）运用换元法和二次函数的对称轴和区间的关系，对a讨论，即可得到最小值．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=4^x-4•2^x（-1≤x≤2）
=（2^x-2）²-4，
令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤4），
即有f（t）=（t-2）²-4，
由于2∈[$\frac{1}{2}$，4]，可得最小值g（2）=-4；
（2）函数f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2），
令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤4），
则f（t）=t²-2at=（t-a）²-a²，
当a≤$\frac{1}{2}$时，区间[$\frac{1}{2}$，4]为增区间，即有t=$\frac{1}{2}$取得最小值$\frac{1}{4}$-a；
当$\frac{1}{2}$＜a＜4时，当t=a时，取得最小值-a²；
当a≥4时，区间[$\frac{1}{2}$，4]为减区间，即有t=4取得最小值16-8a．
即有g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}-a，a≤\frac{1}{2}}\\{-{a}^{2}，\frac{1}{2}＜a＜4}\\{16-8a，a≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用指数函数的单调性，以及二次函数的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．