Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，S_n为其前n项和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n+1}是等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1计算可知a_n+1-3a_n=2n-2，并与a_n-3a_n-1=2（n-1）-2（n≥2）作差、整理可知b_n=3b_n-1+2，变形得b_n+1=3（b_n-1+1），进而可知数列{b_n+1}是首项、公比均为3的等比数列；
（2）通过（1）可知b_n+1=3ⁿ，进而利用分组法求和计算即得结论；
（3）通过（2）可知a_n+1-a_n=3ⁿ-1，并项相加即得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2S_n+n²-n+1，
∴a_n=2S_n-1+（n-1）²-（n-1）+1（n≥2），
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n+2n-2，
∴a_n+1-3a_n=2n-2（n≥2），
又∵a₂=2a₁+1-1+1=3=3a₁满足上式，
∴a_n+1-3a_n=2n-2，
∴当n≥2时，a_n-3a_n-1=2（n-1）-2，
两式相减得：（a_n+1-a_n）=3（a_n-a_n-1）+2，即b_n=3b_n-1+2，
整理得：b_n+1=3（b_n-1+1），
又∵b₁=a₂-a₁+1=3-1+1=3，
∴数列{b_n+1}是首项、公比均为3的等比数列；
（2）解：由（1）可知b_n+1=3ⁿ，
∴b_n=-1+3ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-n+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-n-$\frac{3}{2}$；
（3）解：由（2）可知，a_n+1-a_n=3ⁿ-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3⁰+3¹+…+3^n-1-（n-1）
=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+1）-n．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．