Question

已知向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，|

c

-

a

-

b

|=1，则|

c

|的最大值为（　　）

• A、4
• B、1+

  3

• C、3+

  3

• D、2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，利用数量积运算可得＜

a

，

b

＞=60°．如图所示，建立直角坐标系．作

OA

=

a

，

OB

=

b

．设C（x，y），A（

3

，0），
B(

3

2

，

3

2

)，利用向量的坐标运算及其数量积的性质与已知|

c

-

a

-

b

|=1，可得

(x- 3 3 2 )2+(y- 3 2 )2

=1，再利用点与圆的位置关系、两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：∵向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=

3

，

a

•

b

=

3

2

，
∴

3

2

=|

a

| |

b

|cos＜

a

，

b

＞=

3

×

3

×cos＜

a

，

b

＞，化为cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，解得＜

a

，

b

＞=60°．
如图所示，建立直角坐标系．
作

OA

=

a

，

OB

=

b

．
设C（x，y），∵A（

3

，0），B(

3

2

，

3

2

)，
∴

c

-

a

-

b

=(x-

3 3

2

，y-

3

2

)．
∵|

c

-

a

-

b

|=1，∴

(x- 3 3 2 )2+(y- 3 2 )2

=1，
即(x-

3 3

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
∴|

c

|的最大值=|OM|+r=

( 3 3 2 )2+( 3 2 )2

+1=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了向量的坐标运算及其数量积的性质、点与圆的位置关系、两点间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．