题目内容
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边sinθ≠0，已知c=2，C=
．
（1）若△ABC的面积等于
，求a，b；
（2）求a+b的取值范围．
| π |
| 3 |
（1）若△ABC的面积等于
| 3 |
（2）求a+b的取值范围．
考点：余弦定理,正弦定理
专题：解三角形
分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，将sinC的值及已知面积代入求出ab的值，再利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入得到另一个关系式，联立即可求出a与b的值；
（2）利用正弦定理列出关系式，将c与sinC的值代入求出2R的值，进而表示出a与b，代入a+b中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据这个角的范围求出正弦函数的值域，即可确定出a+b的范围．
（2）利用正弦定理列出关系式，将c与sinC的值代入求出2R的值，进而表示出a与b，代入a+b中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据这个角的范围求出正弦函数的值域，即可确定出a+b的范围．
解答：
解：（1）∵△ABC面积为
，C=
，
∴S△ABC=
absinC=
，即ab=4①，
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab，
整理得：a2+b2=8②，
联立①②解得：a=b=2；
（2）在锐角△ABC中，C=
，得到A∈（
，
），
由正弦定理得：
=
=2R，即2R=
，
∴由正弦定理得：a=2RsinA=
sinA，b=2RsinB=
sinB，
∴a+b=
（sinA+sinB）=
[sinA+sin（
-A）]=
（
sinA+
cosA）=4sin（A+
），
由A∈（
，
）得：A+
∈（
，
），
∴sin（
+A）∈（
，1]，
则a+b∈（2
，4]．
| 3 |
| π |
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，即4=a2+b2-ab，
整理得：a2+b2=8②，
联立①②解得：a=b=2；
（2）在锐角△ABC中，C=
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
由正弦定理得：
| c |
| sinC |
| 2 | ||||
|
4
| ||
| 3 |
∴由正弦定理得：a=2RsinA=
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
∴a+b=
| 4 | ||
|
| 4 | ||
|
| 2π |
| 3 |
| 4 | ||
|
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
由A∈（
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin（
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
则a+b∈（2
| 3 |
点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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