Question

12．已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD．异面直线PB与CD所成的角为45°．求：
（1）二面角B-PC-D的大小；
（2）直线PB与平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）作BE⊥PC于E，连接ED，由已知推导出∠BED就是二面角B-PC-D的平面角，由此能求出二面角B-PC-D的大小．
（2）还原棱锥为正方体ABCD-PB₁C₁D₁，作BF⊥CB₁于F，连接PF，则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角，由此能求出直线PB与平面PCD所成的角的大小．

解答 解：（1）∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB与CD所成的角，即∠PBA=45°，…（1分）
∴PA=AB，作BE⊥PC于E，连接ED，
在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，
∴△ECB≌△ECD，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．…（4分）
设AB=a，则BD=PB=$\sqrt{2}a$，PC=$\sqrt{3}a$，
BE=DE=$\frac{PB•BC}{PC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
cos∠BED=$\frac{B{E}^{2}+D{E}^{2}-B{D}^{2}}{2×BE×DE}$=-$\frac{1}{2}$，∴∠BED=120°
二面角B-PC-D的大小为120°．…（6分）
（2）还原棱锥为正方体ABCD-PB₁C₁D₁，作BF⊥CB₁于F，
∵平面PB₁C₁D₁⊥平面B₁BCC₁，
∴BF⊥平面PB₁CD，…（8分）
连接PF，则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角．…（10分）
BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PB=$\sqrt{2}a$，sin∠BPF=$\frac{1}{2}$，∠BPF=30°．
∴直线PB与平面PCD所成的角为30°．…（12分）

点评 本题考查二面角的大小的求法，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．