Question

10．已知点A（0，1），B（-2，3），C（-1，2），D（1，5），则向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为$-\frac{\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 根据点的坐标可求出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}$的坐标，而根据投影的计算公式及向量夹角的余弦公式即可得出投影为：$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，从而根据坐标即可求出该投影的值．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=（-1，1），\overrightarrow{BD}=（3，2）$；
∴$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影为：
$|\overrightarrow{AC}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BD}＞$=$|\overrightarrow{AC}|•\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|}$
=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$
=$\frac{-1}{\sqrt{13}}$
=$-\frac{\sqrt{13}}{13}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{13}}{13}$．

点评 考查根据点的坐标求向量坐标的方法，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，以及向量数量积的坐标运算，根据向量坐标可求向量长度．