Question

2．已知f（x）=-x²+ax-2，g（x）=xlnx．
（1）对任意x∈（0，+∞），g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数g（x）在区间[m．m+1]（m＞0）上的最值；
（3）证明：对任意x∈（0，+∞），都有lnx+$\frac{2}{ex}$≥$\frac{1}{{e}^{x}}$成立．

Answer 1

分析 （1）问题转化为$a≤lnx+x+\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，令$F（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，根据函数的单调性，求出F（x）的最小值，从而求出a的范围即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出g（x）的最小值、最大值；
（3）问题等价于证明$xlnx≥\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}，\;\;x∈（0，\;\;+∞）$，知道g（x）=xlnx的最小值，设$G（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}，\;\;x∈（0，\;\;+∞）$，根据函数的单调性求出G（x）的最大值，从而证出结论即可．

解答 （1）解：对任意x∈（0，+∞），g（x）≥f（x）恒成立，
即xlnx≥-x²+ax-2恒成立，也就是$a≤lnx+x+\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．
令$F（x）=lnx+x+\frac{2}{x}$，
则$F'（x）=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x^2}=\frac{（x+2）（x-1）}{x^2}$，（2分）
x∈（0，1）时，F'（x）＜0；x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，
因此在x=1处取极小值，也是最小值，
即F（x）_min=F（1）=3，
∴a≤3．（4分）
（2）解：g'（x）=lnx+1，令g'（x）=0得$x=\frac{1}{e}$，
当$0＜m＜\frac{1}{e}$时，在$x∈[{m，\;\;\frac{1}{e}}）$上，g'（x）＜0；
在$x∈（{\frac{1}{e}，\;\;+∞}）$上，g'（x）＞0，
因此g（x）在处取得极小值，也是最小值，
故$g{（x）_{min}}=g（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$，
由于g（m）=mlnm＜0，g（m+1）=（m+1）ln（m+1）＞0，
因此，g（x）_max=g（m+1）=（m+1）ln（m+1）（6分）
当$m≥\frac{1}{e}$时，g'（x）≥0，因此g（x）在区间[m，m+1]（m＞0）上单调递增，
故g（x）_min=g（m）=mlnm，g（x）_max=g（m+1）=（m+1）ln（m+1）（8分）
（3）证明：问题等价于证明$xlnx≥\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}，\;\;x∈（0，\;\;+∞）$，
由（Ⅱ）知g（x）=xlnx当且仅当$x=\frac{1}{e}$时取最小值$-\frac{1}{e}$，（10分）
设$G（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}，\;\;x∈（0，\;\;+∞）$，则$G'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
易知$G{（x）_{max}}=G（1）=-\frac{1}{e}，\;\;∴xlnx≥\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，
从而可知对任意x∈（0，+∞），都有$lnx\;+\frac{2}{ex}≥\frac{1}{e^x}$成立．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．