Question

10．设m∈N，若函数f（x）=2x-m$\sqrt{10-x}$-m+10存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由f（x）=0得：2x-m$\sqrt{10-x}$-m+10=0，求得m=$\frac{2x+10}{\sqrt{10-x}+1}$，结合m∈N，x∈Z，可得关于x的不等式组，求出x的范围，一一验证得答案．

解答 解：令f（x）=0得：2x-m$\sqrt{10-x}$-m+10=0
即m=$\frac{2x+10}{\sqrt{10-x}+1}$，∵m∈N，x∈Z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+10≥0}\\{10-x≤0}\end{array}\right.$，∴-5≤x≤10，且x∈Z，
∴x=-5，-4，-3，-2，…，1，2，3，4，…，9，10，
将它们代入m=$\frac{2x+10}{\sqrt{10-x}+1}$，验证得：m=0，3，14，30，
∴符合条件的m的取值个数为4．
故选：C．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．