Question

8．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是平面A₁BC₁内一动点，且满足|PD|+|PB₁|=6，则点P的轨迹所形成的图形的面积是（　　）

• A． 2π
• B． $\frac{11π}{2}$
• C． $\frac{16π}{3}$
• D． $\frac{52π}{9}$

Answer 1

分析 由题意可知：B₁D⊥平面A₁BC₁，|PD|+|PB₁|=6＞丨B₁D丨=2$\sqrt{3}$，点P在一个“椭球”上运动，且被垂直于其对称轴的平面A₁BC₁截出一个圆，记其半径为r，根据勾股定理即可求得半径，求得圆的面积．

解答 解：连接B₁D，记B₁D与平面A₁BC₁交于点O，易证B₁D⊥平面A₁BC₁，丨OD丨=2丨OB₁丨=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．由|PD|+|PB₁|=6＞丨B₁D丨=2$\sqrt{3}$，
点P在一个“椭球”上运动，且被垂直于其对称轴的平面A₁BC₁截出一个圆，记其半径为r，记丨PD丨=a，
则$\left\{\begin{array}{l}{丨OD{丨}^{2}+{r}^{2}=丨PD{丨}^{2}={a}^{2}}\\{丨O{B}_{1}{丨}^{2}+{r}^{2}=丨P{B}_{1}{丨}^{2}=（6-a）^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{10}{3}}\\{{r}^{2}=\frac{52}{9}}\end{array}\right.$，
所以点P的轨迹所形成的图形的面积S=πr²=$\frac{52π}{9}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆的定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．