Question

20．$\int_{-1}^1{（{{e^{|x|}}+\sqrt{4-{x^2}}}）}dx$=$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由定积分的几何意义知：${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx是如图所示的阴影部分曲边梯形OABC的面积，其面积可分为扇形和三角形，分别求解即可，再根据定积分的计算法则

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，
由定积分的几何意义知：${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx是如图所示的阴影部分曲边梯形OABC的面积，
其中B（1，$\sqrt{3}$），∠BOC=30°
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=S_扇形BOC+S_△AOB=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故${∫}_{-1}^{1}$e^|x|dx=2${∫}_{0}^{1}$e^xdx=2e^x|${\;}_{0}^{1}$=2e-2，
故$\int_{-1}^1{（{{e^{|x|}}+\sqrt{4-{x^2}}}）}dx$=$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$，
故答案为：$2e+\frac{2}{3}π-2+\sqrt{3}$，

点评 本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属于中档题