Question

2．过抛物线y=x²上定点C（1，1）引两条互相垂直的弦CA、CB，作CM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 确定直线AB过定点D（-1，2），又CM⊥AB，可得点M在以CD为直径的圆上，即可求点M的轨迹方程．

解答 解：设A（m，m²），B（n，n²），则直线AB方程为：$\frac{{y-{n^2}}}{{{m^2}-{n^2}}}=\frac{x-n}{m-n}$
即y=（m+n）x-mn，
∵CA⊥CB，
∴${k_{AC}}•{k_{BC}}=\frac{{{m^2}-1}}{m-1}•\frac{{{n^2}-1}}{n-1}=（m+1）（n+1）=-1$
即m+n+mn=-2，
故直线AB方程为：y=（m+n）x+m+n+2
即y=（m+n）（x+1）+2，
∴直线AB过定点D（-1，2），
又CM⊥AB
∴点M在以CD为直径的圆上，其方程为：${x^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{4}$

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，确定直线AB过定点D（-1，2）是关键．