题目内容

12.已知函数f(x)=ln$\frac{7+x}{7-x}$.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性.

分析 (1)由$\frac{7+x}{7-x}$>0,可求得f(x)的定义域;
(2)由f(-x)+f(x)=0可判断f(x)为奇函数

解答 解:(1)由$\frac{7+x}{7-x}$>0得:$\frac{x+7}{x-7}<0$,
解得:-7<x<7;
∴f(x)的定义域为{x|-7<x<7};
(2)f(x)=ln$\frac{7+x}{7-x}$为奇函数.证明如下:
由(1)得f(x)=ln$\frac{7+x}{7-x}$的定义域关于原点对称,
又∵f(-x)+f(x)=ln $\frac{7+x}{7-x}$+ln$\frac{7-x}{7+x}$=ln($\frac{7+x}{7-x}$×$\frac{7-x}{7+x}$)=ln1=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=ln$\frac{7-x}{7+x}$为奇函数

点评 本题考查对数函数的定义域与奇偶性,对a分类讨论是难点,由f(-x)+f(x)=0判断该题的奇偶性是好方法,属于中档题

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