题目内容
①设函数f（x）=|x+1|-|x-4|，解不等式f（x）＜2；
②已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．
②已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．
考点：绝对值不等式的解法,基本不等式
专题：不等式的解法及应用
分析：①化简f（x）的解析式，从而求得f（x）＜2的解集．
②由条件利用柯西不等式求得x2+y2+z2的最小值．
②由条件利用柯西不等式求得x2+y2+z2的最小值．
解答：
解：①∵f（x）=|x+1|-|x-4|=
，
∴由f（x）＜2得x＜
，即不等式的解集为{x|x＜
}．
②∵x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（1+1+1）≥（x+y+z）2=9，
从而 x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2 的最小值为3．
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∴由f（x）＜2得x＜
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②∵x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（1+1+1）≥（x+y+z）2=9，
从而 x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2 的最小值为3．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了柯西不等式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知a，b，c是正实数，则“
b=a+2c”是“b2≥4ac”的（ ）
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| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |