Question

已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍．

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点．若A是PB的中点，求直线m的斜率．

Answer 1

解　(1)设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.

由此得|4－x|＝2，

化简得＋＝1，

所以，动点M的轨迹方程为

＋＝1.

(2)法一　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k²)x²＋24kx＋24＝0，

其中，Δ＝(24k)²－4×24(3＋4k²)＝96(2k²－3)>0，

解得k²>.

由根与系数的关系得，x₁＋x₂＝－，                     ①

x₁x₂＝.                                                  ②

又因A是PB的中点，故x₂＝2x₁，                               ③

将③代入①，②，得x₁＝－，x＝，

可得＝，且k²>，

解得k＝－或k＝，

所以，直线m的斜率为－或.

法二　由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x₁，y₁)，

B(x₂，y₂)．

∵A是PB的中点，

∴x₁＝，                                                                                        ①

y₁＝.                                                                                         ②

又＋＝1，                                                                                 ③

＋＝1，                                                                                   ④

联立①，②，③，④解得或

即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，

所以，直线m的斜率为－或.