Question

求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

Answer 1

解　法一　椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，

2a＝

解得a＝2.由c²＝a²－b²可得b²＝4.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c²＝25－9＝16.

设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

因为c²＝16，且c²＝a²－b²，故a²－b²＝16.①

又点(，－)在所求椭圆上，

所以＝1，即＋＝1.②

由①②得b²＝4，a²＝20，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

规律方法 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．

(2)求椭圆的标准方程有两种方法

①定义法：根据椭圆的定义，确定a²，b²的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax²＋By²＝1(A>0，B>0，A≠B)．