Question

11．已知方程log${\;}_{2}^{2}$x-2log₂x+3-a=0在[1，8]上有且只有一解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 令t=log₂x（0≤t≤3），由题意可得t²-2t+3-a=0在[0，3]上有且只有一解，即为a-3=t²-2t=（t-1）²-1，求出函数y=（t-1）²-1在[0，3]的最值，结合条件可得a的不等式，解得即可得到所求范围．

解答 解：令t=log₂x（0≤t≤3），
log${\;}_{2}^{2}$x-2log₂x+3-a=0在[1，8]上有且只有一解，
即为t²-2t+3-a=0在[0，3]上有且只有一解，
即为a-3=t²-2t=（t-1）²-1，
由y=（t-1）²-1在[0，3]的最小值为-1，t=0时，y=0，
t=3时，y=3，可得0＜a-3≤3，或a-3=-1，
解得3＜a≤6，或a=2，
故a的取值范围是{x|a=2或3＜a≤6}．

点评 本题考查可化为二次方程的解的个数，注意运用换元法和对数函数的单调性，考查二次函数的值域的求法，属于中档题．