Question

19．已知f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]．
（1）写出满足条件$\frac{1}{2}＜$f（x）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$的两个整数x值（不要求证明）；
（2）若-2003≤x₁＜x₂＜x₃≤2003，且f（x₂）＜f（x₁）＜f（x₃），求证x₁x₃＜0且x₁+x₃＞0．

Answer 1

分析 （1）根据正弦值，求出x的范围，即可得到结论；
（2）画出函数的图象，观察图象，即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]，
∴f（x）∈[0，1]，
∵$\frac{1}{2}＜$f（x）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin$\frac{π}{6}$＜sin$\frac{π}{4006}$x＜sin$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{4006}$x＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{2003}{3}$＜x＜$\frac{4006}{3}$，
∴x取700，800，
（2）证明：f（x）=|sin$\frac{π}{4006}$x|，x∈[-2003，2003]，
画出f（x）的图象，如图所示：满足条件的三个值只有x₁在负半轴上，
左边是单调递减的，右边是单调递增的，
∴x₁x₃＜0且x₁+x₃＞0．

点评 本题考查函数的值域，以及函数的图象，关键是画图，属于中档题．