Question

2．一项实验中获得的一组关于变量y，t之间的数据整理后得到如图所示的散点图．下列函数中可以
近视刻画y与t之间关系的最佳选择是（　　）

• A． y=a^t
• B． y=log_at
• C． y=at³
• D． y=a$\sqrt{t}$

Answer 1

分析 可以判断各选项中的函数的增长速度的大小关系，增长速度相近的是B和D，都显然小于A，C的增长速度，从而来判断B，D应选哪个：若用y=log_at刻画时，根据第一个点（2，1）容易求出a=2，从而可以判断（4，2），（8，3），（16，4）这几个点都满足函数y=log₂t，这便说明用该函数刻画是可以的，而同样的方法可以说明不能用D选项的函数来刻画．

解答 解：各选项函数的增长速度的大小关系为：y=a^t和y=at³的增长速度显然大于$y=lo{g}_{a}t和y=a\sqrt{t}$的增长速度，现判断是函数y=log_at和$y=a\sqrt{t}$中的哪一个：
（1）若用函数y=log_at刻画：
由图看出1=log_a2，∴a=2；
∴log₂4=2，log₂8=3，log₂16=4；
显然满足图形上几点的坐标；
∴用y=log_at刻画是可以的；
（2）若用函数y=a$\sqrt{t}$刻画：
由1=a$\sqrt{2}$得，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{8}=2$，而由图看出t=8时，y=3；
∴不能用函数$y=a\sqrt{t}$来刻画．
故选B．

点评 考查函数散点图的概念，清楚指数函数，对数函数和幂函数的增长速度的关系，清楚本题各选项中函数的图象，待定系数求函数解析式的方法，通过几个特殊点来验证一个函数解析式能否来反映散点图中两个变量关系的方法．