Question

16．求$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{2}{π}$arctanx）^x．

Answer 1

分析 化简$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{2}{π}$arctanx）^x=$\underset{lim}{x→+∞}$${e}^{x•ln（\frac{2}{π}αrctanx）}$，利用洛必达法则求$\underset{lim}{x→+∞}$[x•ln（$\frac{2}{π}$αrctanx）]，从而解得．

解答 解：$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{2}{π}$arctanx）^x
=$\underset{lim}{x→+∞}$${e}^{x•ln（\frac{2}{π}αrctanx）}$
∵$\underset{lim}{x→+∞}$[x•ln（$\frac{2}{π}$αrctanx）]
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{ln（\frac{2}{π}αrctanx）}{\frac{1}{x}}$
=$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{π}{2αrctanx}$•$\frac{2}{π}$•$\frac{1}{1+{x}^{2}}$）•（-x²）
=-$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{1}{αrctanx}$
=-$\frac{2}{π}$，
故$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{2}{π}$arctanx）^x=$\underset{lim}{x→+∞}$${e}^{x•ln（\frac{2}{π}αrctanx）}$=${e}^{-\frac{2}{π}}$．

点评 本题考查了洛必达法则的应用．