Question

【题目】如图，在棱长均为4的三棱柱中， 分别是和的中点.

（1）求证： 平面

（2）若平面平面，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）8

【解析】试题分析：（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD

又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，满足定理所需条件；

（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．

试题解析：

（1）证明：如图，连结.在三棱柱中，

因为分别是与的中点，所以，且.

所以四边形为平行四边形，所以，且.

又所以，

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面， 平面，故平面.

（2）解：（方法1)

在中，因为， 为的中点，所以.

因为平面平面，交线为， 平面,

所以平面，即是三棱锥的高.

在中，由，得.

在中， ，

所以的面积.

所以三棱锥的体积，即三棱锥的体积.

(方法 2)在 中，因为，

所以为正三角形，因此.

因为平面平面，交线为， 平面，

所以平面，即是三棱锥的高.

在中，由，得的面积.

在中，因为，所以.

所以三棱锥的体积.