题目内容
【题目】某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；
（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记
为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量
的分布列和数学期望.
【答案】（1）
;
（2）
的分布列为
所以
.
【解析】【试题分析】（1）依据题设先用分层抽样的方法求出个体的个数，再运用概率计算公式分析求解；（2）先求随机变量的分布列，再运用数学期望的计算公式分析探求：
（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为
，即
，可得： 
，
又
，所以
，则根据分层抽样法：
抽取10人中选修线性代数的人数为： 
人；选修微积分的人数为： 
人；选修大学物理的人数为： 
人；选修商务英语的人数为： 
人；选修文学写作的人数为： 
人；
（1）现从10人中选3人共有
种选法，且每种选法可能性相同，令事件
选中的3人至少两人选修线性代数，事件
选中的3人有两人选修线性代数，事件
选中的3人都选修线性代数，且
为互斥事件， 
.
（2）记
为3人中选修线性代数的人数， 
的可能取值为0,1，2,3，记
为3人中选修微积分的人数； 
的可能取值也为0,1,2,3，则随机变量
的可能取值为0,1,2,3；
；
，
，
；
所以
的分布列为
所以
.
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【题目】环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于
视为当天空气质量优良.
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空气质量指数 |
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天数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空气质量指数 |
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(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；
(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用
表示抽到空气质量为优良的天数，求
的分布列及数学期望.
