Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆： 的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的

坐标；若不存在说明理由；

（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）．

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率和左顶点，求出， ，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为，与椭圆联立，得， ，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果；（3）由,可设的方程为，与椭圆联立方程得点的横坐标，由，结合基本不等式即可求出最小值.

试题解析：（1）∵左顶点为

∴

又∵

∴

又∵

∴椭圆的标准方程为．

（2）直线的方程为，由消元得

化简得， ，则

当时， ，

∴

∵点为的中点

∴点的坐标为，则.

直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，

∴恒成立

∴即

∴定点的坐标为.

（3）∵

∴的方程可设为，由得点的横坐标为

由，得 ，

当且仅当即时取等号，

∴当时， 的最小值为．