Question

【题目】已知函数 在点处的切线与直线平行，且函数有两个零点.

（1）求实数的值和实数的取值范围；

（2）记函数的两个零点为，求证： （其中为自然对数的底数）.

Answer 1

【答案】（1）， 且（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由切线求出，再由求导得到在单调递减，在单调递增， ，则且；（2）设，欲证，即证，只须证，记函数，通过求导分析得．

试题解析：

解：（1）由， 得：

由

进而得，

故当时， ；当时， ；

所以函数在单调递减，在单调递增，

要使函数在有两个零点，则

且

（用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）

（2）由（1），我们不妨设

欲证，即证

又函数在单调递增，即证

由题设，从而只须证

记函数，

则，

记，得

因为，所以恒成立，即在上单调递增，又

所以在上恒成立，即在单调递减

所以当时， ，即

从而得．

上恒成立，即在单调调递

所以当时， ，即

从而得．