Question

【题目】设.

（1）求的反函数；

（2）讨论在上的单调性，并加以证明；

（3）令，当时，在上的值域是，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)令,由求反函数的规则解出.

(2)复合函数,外层函数的单调性要由底数的取值范围确定,分两类讨论,内层函数的单调性可由定义法证明,再由复合函数的单调性判断出函数的单调性即可.

(3)分类讨论当时，和时两种情况,由（2）中单调性解出的取值范围，并起来即可得到符合条件的参数的取值范围.

(1)令,解得

(2)令，设在上单调递增.

当时，根据复合函数单调性得到在上是减函数.

当时，根据复合函数单调性得到在上是增函数.

综上所述：当时，在上是减函数；当时， 在上是增函数.

(3)当时,在上是减函数,

即有得,即,

可知方程的两个根均大于1,故有

当时,在上是增函数，

(舍去).

综上所述：.