Question

19．已知$α，β∈（{\frac{3π}{4}，π}）$，$cos（α+β）=\frac{4}{5}，cos（β-\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，则$sin（α+\frac{π}{4}）$=（　　）

• A． $\frac{33}{65}$
• B． $-\frac{33}{65}$
• C． $-\frac{16}{65}$
• D． $\frac{16}{65}$

Answer 1

分析 由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（α+β），sin（$β-\frac{π}{4}$）的值，由两角差的正弦函数公式即可计算得解$sin（α+\frac{π}{4}）$的值．

解答 解：∵$α，β∈（{\frac{3π}{4}，π}）$，$cos（α+β）=\frac{4}{5}，cos（β-\frac{π}{4}）=-\frac{5}{13}$，
∴α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），$β-\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（α+β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，sin（$β-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=$\frac{12}{13}$，
∴$sin（α+\frac{π}{4}）$=sin[（α+β）-（$β-\frac{π}{4}$）]=sin（α+β）cos（$β-\frac{π}{4}$）-cos（α+β）sin（$β-\frac{π}{4}$）
=（-$\frac{3}{5}$）×$（-\frac{5}{13}）$-$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=-$\frac{33}{65}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．