Question

18．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的$\frac{11}{9}$倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB=1040m，BC=500m，则sin∠BAC等于$\frac{5}{13}$．

Answer 1

分析 设乙的速度为x（m/s），则甲的速度为$\frac{11}{9}$x（m/s），利用两人达到的时间相等列出表达式、计算可知AC=1260m，进而利用余弦定理及平方关系计算即得结论．

解答 解：依题意，设乙的速度为x（m/s），
则甲的速度为$\frac{11}{9}$x（m/s），
∵AB=1040m，BC=500m，
∴$\frac{AC}{x}$=$\frac{1040+500}{\frac{11}{9}x}$，
解得：AC=1260m，
∴△ABC为锐角三角形，
由余弦定理可知cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$
=$\frac{104{0}^{2}+126{0}^{2}-50{0}^{2}}{2×1040×1260}$=$\frac{84}{91}$，
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$
=$\sqrt{1-（\frac{84}{91}）^{2}}$=$\frac{35}{91}$=$\frac{5}{13}$．
故答案为：$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查三角函数模型的选择与应用，涉及余弦定理、平方关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．