Question

6．已知一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），且f（f（x））=16x+5
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）在（1，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=kx+b，（k≠0）代入f（f（x））=16x+5，可求出k，b；
（2）g（x）图象开口向上，故只需令（1，+∞）位于对称轴右侧即可．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b，
∵一次函数f（x）是R上的增函数，
∴k＞0，
则f（f（x））=k（kx+b）+b=k²x+kb+b=16x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=16}\\{kb+b=5}\end{array}\right.$，解得k=4，b=1．
∴f（x）=4x+1．
（2）g（x）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
∴g（x）图象开口向上，对称轴为x=-$\frac{4m+1}{8}$，
∵g（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解得m$≥-\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的单调区间，判断对称轴与区间关系是关键．