Question

8．如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．
（1）求证：AB⊥DE；
（2）求三棱锥D-ABP的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结OD，OE，通过证明AB⊥平面ODE，然后推出AB⊥DE．
（2）利用等体积转化法，求解即可．

解答 解：（1）证明：取AB中点O，连结OD，OE，
因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．
因为四边形ABCD是直角梯形，$DC=\frac{1}{2}AB$，AB∥CD，
所以四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，
又AB⊥BC，所以AB⊥OD．
所以AB⊥平面ODE，
所以AB⊥DE．
（2）解：${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}AB•BC=\frac{2×1}{2}$=1，P为CE中点，则P到平面ABCD的距离为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${V}_{D-ABP}={V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}×\frac{2×1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．