Question

在△ABC中，向量 

m

=（2cosB，1），

n

=（2cos²（

π

4

+

B

2

），-1+sin2B），且满足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．
（Ⅰ）求角B的大小．
（Ⅱ）求sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，知

m

•

n

=2cosB（1-sinB）+（-1+sin2B）=0，由此能求出角B的大小．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC中，B=

π

3

，A+C=

2π

3

，A∈（0，

2π

3

），由sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=

1

2

cos（2A-

π

6

）+1，能求出sin²A+sin²C的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，向量 

m

=（2cosB，1），

n

=（ 2cos²（  

π

4

+

B

2

），-1+sin2B），
∴

n

=（1-sinB，-1+sin2B），
∵|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，
∴

m

•

n

=2cosB（1-sinB）+（-1+sin2B）=2cosB-2cosBsinB+sin2B-1=2cosB-1=0，
∴cosB=

1

2

，∴∠B=

π

3

．
（Ⅱ）由△ABC中，B=

π

3

，得A+C=

2π

3

，∴A∈（0，

2π

3

），
sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

cos2A-

1

2

cos（

4π

3

-2A）=

1

2

cos（2A-

π

6

）+1．
由A∈（0，

2π

3

），得 2A-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

），
∴-

1

2

＜cos（2A-

π

6

）≤1，
∴

3

4

≤

1

2

cos（2A-

π

6

）+1≤

3

2

．
∴sin²A+sin²C的取值范围是[

3

4

，

3

2

]．

点评：本题考查平面向量和三角函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的合理运用．