Question

在△ABC中，向量

OA

=(acos2C， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2C-a)，f(C)=

OA

•

OB

，a≠0．
（Ⅰ）求函数f（C）解析式，并求f（C）的单调区间；
（Ⅱ）若△ABC是钝角三角形，且a＞0时，f（C）的最小值为-5，求a的值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是平面微量的数量积运算和三角函数的性质，
（1）由向量

OA

=(acos2C， 1)， 

OB

=(2， 

3

asin2C-a)，f(C)=

OA

•

OB

，我们根据向量的数量积运算法则，结合辅助角公式，不难给出函数f（C）解析式，然后对参数a进行分类讨论，可求f（C）的单调区间．
（2）由△ABC是钝角三角形，且a＞0，则C∈(

π

2

，π)分析函数f（C）的性质，易得当2C+

π

6

=

3π

2

时，函数f（C）有最小值，代入即可求出a值．

解答：解：（Ⅰ）f(C)=2acos2C+

3

asin2C-a=

3

asin2C+acos2C=2asin(2C+

π

6

)．
∵0＜C＜π，
∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

．
若a＞0，
当

π

6

＜2C+

π

6

≤

π

2

时，即0＜C≤

π

6

时，
f（C）为增函数，f（C）的单调递增区间是(0，

π

6

]；
当

π

2

＜2C+

π

6

＜

13π

6

时，即

π

6

＜C＜π时，
f（C）为减函数，f（C）的单调递减区间是(

π

6

，π)．
若a＜0，
当

π

6

＜2C+

π

6

≤

π

2

时，即0＜C≤

π

6

时，
f（C）为减函数，f（C）的单调递减区间是(0，

π

6

]；
当

π

2

＜2C+

π

6

＜

13π

6

时，即

π

6

＜C＜π时，
f（C）为增函数，f（C）的单调递增区间是(

π

6

，π)．
（Ⅱ）f(C)=2asin(2C+

π

6

)，
当C∈(

π

2

，π)时，
2C+

π

6

∈(

7π

6

，2π)．
当2C+

π

6

=

3π

2

时，
f（C）最小值为-2a=-5，
则a=

5

2

点评：处理三角函数与平面向量的综合题，通常利用向量的数量积等知识，将向量问题转化为三角函数问题来处理．考查综合能力，转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力．解决本题的关键是，利用两个向量的数量积的坐标形式，将向量问题转化为三角函数问题来处理．