Question

设二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c∈R)满足下列条件：

①当x∈R时， f(x)的最小值为0，且f(x－1)＝f(－x－1)恒成立；

②当x∈(0,5)时，x≤f(x)≤2|x－1|＋1恒成立．

(1)求f(1)的值；

(2)求f(x)的解析式；

(3)求最大的实数m(m>1)，使得存在实数t，当x∈[1，m]时， f(x＋t)≤x恒成立．

Answer 1

解：(1)在②中令x＝1，有1≤f(1)≤1.故f(1)＝1.

(2)由①知二次函数的图象关于直线x＝－1对称，且开口向上，故设此二次函数为f(x)＝a(x＋1)²(a>0)．

因为f(1)＝1，所以a＝，所以f(x)＝(x＋1)².

(3)f(x)＝(x＋1)²的图象开口向上，

而y＝f(x＋t)的图象是由y＝f(x)的图象向左或向右平移|t|个单位得到的，要在区间[1，m]上使得y＝f(x＋t)的图象在y＝x的图象下方，且m最大，则1和m应当是方程(x＋t＋1)²＝x的两个根．

令x＝1代入方程，得t＝0或－4.

当t＝0时，方程的解为x₁＝x₂＝1(这与m>1矛盾，舍去)；

当t＝－4时，方程的解为x₁＝1，x₂＝9，所以m＝9.

又当t＝－4时，对任意x∈[1,9]，y＝f(x－4)－x＝(x－3)²－x＝(x²－10x＋9)＝(x－5)²－4≤0，

即f(x－4)≤x恒成立．所以最大的实数m为9.