Question

已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足以下三个条件：①f(1)＝1；②对任意的x∈[0,1]，都有f(x)≥0；③当x≥0，y≥0，x＋y≤1时总有f(x＋y)≥f(x)＋f(y)．

(1)试求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值；

(3)证明：当x∈时，恒有2x≥f(x)．

Answer 1

解：(1)令x∈[0,1]，y＝0，则有f(x)＝f(x＋0)≥f(x)＋f(0)，所以有f(0)≤0，

又根据条件②可知f(0)≥0，故f(0)＝0.(也可令x＝y＝0)

(2)设0≤x₁<x₂≤1，则有f(x₂)＝f(x₂－x₁＋x₁)≥f(x₂－x₁)＋f(x₁)≥f(x₁)，即f(x)为增函数，所以f(x)≤f(1)＝1，故f(x)_max＝1.

(3)证明：当x∈，有2x≥1，又由(2)可知f(x)≤1，所以有2x≥f(x)对任意的x∈恒成立．