Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=2c，且A-C=

π

2

．
（1）求cosC的值；
（2）当b=1时，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，将表示出的A代入求出tanC的值，进而确定出cosC的值；
（2）由内角和定理及表示出的A，表示出B，根据cosC的值求出sinB的值，以及sinC的值，利用正弦定理求出c的值，进而确定出a的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答： 解：（1）已知等式a=2c，利用正弦定理化简得：sinA=2sinC，
将A=

π

2

+C代入得：sin（

π

2

+C）=cosC=2sinC，即tanC=

1

2

，
∵a=2c，∴a＞c，即c不为最大边，C不为最大角，
则cosC=

1 1+tan2C

=

2 5

5

；
（2）∵A-C=

π

2

，即A=C+

π

2

，
∴B=π-（A+C）=

π

2

-2C，
∵cosC=

2 5

5

，
∴sinB=sin（

π

2

-2C）=cos2C=2cos²C-1=

3

5

，sinC=

5

5

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：c=

bsinC

sinB

=

1× 5 5

3 5

=

5

3

，即a=2c=

2 5

3

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

2 5

3

×1×

5

5

=

1

3

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．