Question

正项数列{a_n}满足a1=1，

a

2 n+1

=

a

2 n

+an+

1

4

，则

1

a1a2

+

1

a2a3

+…

1

anan+1

=（　　）

• A．2-

  4

  n+2

• B．1-

  2

  n+2

• C．4-

  2

  n+1

• D．2-

  4

  n+1

Answer 1

分析：由已知可得an+1=an+

1

2

，结合等差数列的通项公式可求a_n，进而可求

1

anan+1

，利用裂项相消法可求数列的和

解答：解：∵an+12=an2+an+

1

4

=(an+

1

2

)2且a_n＞0
∴an+1=an+

1

2

∵a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，以

1

2

为公差的等差数列
∴an=1+

1

2

(n-1)=

1+n

2

∴

1

anan+1

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=4（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）
=4（

1

2

-

1

n+2

）
故选A

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，及等差数列的通项公式的应用，数列求和方法中的裂项求和方法的应用，具有一定的综合性