Question

14．已知x≥1，求函数y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值．

Answer 1

分析 化简y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，从而分类讨论以确定函数的性质，从而结合基本不等式求解．

解答 解：y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2，
①当0＜a≤2时，0＜$\frac{a}{2}$≤1；
由对勾函数的性质可得，
y=2（x²+$\frac{\frac{a}{2}}{{x}^{2}}$）-2在[1，+∞）上是增函数，
故y_min=2+a-2=a；
②当a＞2时，$\frac{a}{2}$＞1，
由基本不等式可得，
y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2≥2$\sqrt{2a}$-2，
（当且仅当x²=$\frac{\sqrt{2a}}{2}$时，等号成立）；
故函数y=2x²+$\frac{a}{{x}^{2}}$-2（a＞0）的最小值为2$\sqrt{2a}$-2．

点评 本题考查了函数的化简与应用，同时考查了基本不等式的应用及分类讨论的思想应用．