Question

已知椭圆C₁：＋＝1(0＜b＜2)的离心率为，抛物线C₂：x²＝2py(p＞0)的焦点是椭圆的顶点．

(1)求抛物线C₂的方程；

(2)过点M(－1,0)的直线l与抛物线C₂交于E，F两点，过E，F作抛物线C₂的切线l₁，l₂，当l₁⊥l₂时，求直线l的方程．

Answer 1

解：(1)∵椭圆C₁的长半轴长a＝2，半焦距c＝得b²＝1，

∴椭圆C₁的上顶点为(0,1)，

∴抛物线C₂的焦点为(0,1)，

∴抛物线C₂的方程为x²＝4y.

(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为

y＝k(x＋1)，E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)．由x²＝4y得y＝x²，

∴y′＝x.

∴切线l₁，l₂的斜率分别为x₁，x₂.

当l₁⊥l₂时，x₁·x₂＝－1，即x₁x₂＝－4.

由，得x²－4kx－4k＝0，

∴Δ＝(－4k)²－4×(－4k)＞0，解得k＜－1或k＞0.①

由x₁x₂＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式，

∴直线l的方程为x－y＋1＝0.