Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n；数列{b_n}是公比大于1的等比数列，且满足b₁+b₄=9，b₂b₃=8．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=n²+2n，可得当n=1时，a₁=S₁=3；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
设等比数列{b_n}的公比q＞1，由b₁+b₄=9，b₂b₃=8．可得${b}_{1}（1+{q}^{3}）$=9，${b}_{1}^{2}$q³=8，q＞1．联立解得即可得出．
（II）c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（n²+2n）+（2n+1）•2^n-1．设数列{（-1）ⁿS_n}，{a_nb_n}的前n项和分别为：A_n，B_n．利用“分组求和”与“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=n²+2n，∴当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．当n=1时也成立，∴a_n=2n+1．
设等比数列{b_n}的公比q＞1，∵b₁+b₄=9，b₂b₃=8．
∴${b}_{1}（1+{q}^{3}）$=9，${b}_{1}^{2}$q³=8，q＞1．
联立解得b₁=1，q=2．
∴b_n=2^n-1．
（II）c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（n²+2n）+（2n+1）•2^n-1．
设数列{（-1）ⁿS_n}，{a_nb_n}的前n项和分别为：A_n，B_n．
∵（-1）^2k-1S_2k-1+（-1）^2kS_2k=[（2k）²+2•2k]-[（2k-1）²+2（2k-1）]=4k+1，
则A_n=A_2k=4×（1+2+…+k）+k=4×$\frac{k（k+1）}{2}$+k=k（2k+3）=$\frac{n（n+3）}{2}$；
A_n=A_2k-1=A_n+1-[（n+1）²+2（n+1）]=$\frac{（n+1）（n+4）}{2}$-[（n+1）²+2（n+1）]=-$\frac{{n}^{2}+3n+2}{2}$．
B_n=3×1+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，
2B_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-2+（2n+1）•2ⁿ，
∴-B_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴B_n=（2n-1）•2ⁿ+1．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+3）}{2}+（2n-1）•{2}^{n}+1，n为偶数}\\{-\frac{（n+1）（n+2）}{2}+（2n-1）•{2}^{n}+1，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．