Question

19．求和：$\frac{1-a}{1-a}$C${\;}_{n}^{0}$-$\frac{1-{a}^{2}}{1-a}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1-{a}^{3}}{1-a}$C${\;}_{n}^{2}$-$\frac{1-{a}^{4}}{1-a}$C${\;}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ$\frac{1-{a}^{n+1}}{1-a}$C${\;}_{n}^{n}$．

Answer 1

分析 利用组合数公式，以及二项式定理化简求解即可；

解答 解：设b_n=（-1）ⁿ$\frac{1-{a}^{n+1}}{1-a}$C${\;}_{n}^{n}$=（-1）ⁿ（$\frac{1}{1-a}$C_nⁿ-$\frac{{a}^{n+1}}{1-a}$C_nⁿ），
∴原式=C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{1-a}$（-C_n¹+C_n²+…+（-1）ⁿC_nⁿ）-$\frac{1}{1-a}$（aC_n¹-a²C_n²+…+（-1）ⁿaⁿC_nⁿ）
=C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{1-a}$（0ⁿ-1）-$\frac{1}{1-a}$[（1-a）ⁿ-1]
=1+$\frac{-（1-a）^{n}}{1-a}$．

点评 本题考查组合数公式、组合数的性质，考查学生的计算能力，难度中等．