Question

二项式（2+x）ⁿ的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式的第8项的系数为

 

．（用数字表示）

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：根据前三项的系数依次成等差数列，可得2

C

1 n

•2^n-1=2ⁿ+

C

2 n

2^n-2，由此求得n的值，再根据二项式展开式的通项公式求得展开式的第8项的系数．

解答： 解：∵二项式（2+x）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•2^n-r•x^r，
故展开式前三项的系数分别为 2ⁿ，

C

1 n

•2^n-1，

C

2 n

2^n-2，
再根据前三项的系数依次成等差数列，可得2

C

1 n

•2^n-1=2ⁿ+

C

2 n

2^n-2，
化简可得 n²-9n+8=8，解得n=8，或n=1（舍去），
故第8项的系数为 T₇=

C

7 8

•2=16，
故答案为：16．

点评：本题主要考查等差数列的定义，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．