Question

12．已知直线l的方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；
（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化为：m（-x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解出即可得出直线l经过定点．
（2）当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大．
（3）由于直线l经过定点Q（-1，-2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（$\frac{2-k}{k}$，0），B（0，k-2）两点，$\frac{2-k}{k}$＜0，k-2＜0，解得k＜0．可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{k-2}{k}$×（2-k）=$\frac{1}{2}$$[4+（-k+\frac{4}{-k}）]$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 （1）证明：直线l的方程为（2-m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
化为：m（-x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
则直线l经过定点Q（-1，-2）．
（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时，
点P（3，1）到直线l的距离的最大=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5．
（3）解：由于直线l经过定点Q（-1，-2）．直线l的斜率k存在且k≠0，
因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），
可得与x轴、y轴的负半轴交于A（$\frac{2-k}{k}$，0），B（0，k-2）两点，
$\frac{2-k}{k}$＜0，k-2＜0，解得k＜0．
∴∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{k-2}{k}$×（2-k）=$\frac{1}{2}$$[4+（-k+\frac{4}{-k}）]$≥2+$\frac{1}{2}×2\sqrt{（-k）•\frac{4}{-k}}$=4，当且仅当k=-2时取等号．
此时直线l的方程为：y+2=-2（x+1），化为：2x+y+4=0．

点评 本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．